Introspekce vágních znalostí ve fuzzy logice

Libor Běhounek

Ústav informatiky Akademie věd České republiky, v.v.i.
Pod Vodárenskou věží 2, 182 07 Praha 8, Česká republika
behounek@cs.cas.cz

Abstrakt
Netranzitivita relace nerozlišitelnosti, vynucená v klasické logice Poincarého paradoxem, vylučuje principy pozitivní i negativní introspekce vágních či nepřesných znalostí agentů, jsou-li takové znalosti modelovány pomocí nerozlišitelnosti možných stavů světa. Předvedeme, jak lze i při uvažování vágnosti předpoklad pozitivní či negativní introspekce agentů umožnit vhodným modelováním nerozlišitelnosti jako tranzitivní fuzzy relace, s přirozeným důsledkem fuzzifikace vlastních znalostí agentů i samotných principů introspekce.

1	Úvod

Paradoxy epistemické logiky často souvisejí s fenoménem vágnosti, a mohou být proto řešeny vhodným použitím deduktivní fuzzy logiky. V minulém příspěvku [1] jsme ukázali, že paradox logické vševědoucnosti agentů, který zdánlivě s vágností nesouvisí, může být vyložen jako instance paradoxu hromady pro fuzzy modalitu proveditelné znalosti a řešen pomocí epistemické fuzzy logiky. V tomto příspěvku se soustředíme na řešení paradoxu přímo souvisejícího s vágními znalostmi, jenž pro ně vylučuje platnost principů pozitivní i negativní introspekce. Ukážeme, že při vhodném modelování pomocí deduktivní fuzzy logiky tento paradox nenastává; přítomnou vágnost je však při tom třeba vzít vážně a vzdát se klasické logiky nejen v samotném usuzování agentů o vágních jevech a o svých vágních znalostech, ale i v našem vlastním usuzování o vágních znalostech agentů.
Tento pozitivní výsledek ukazuje, že radikálně fuzzifikované usuzování dává dobrý inferenční model pro usuzování o vágních znalostech. Otevřenou otázkou ale zůstává, zda může poskytnout i dobrý sémantický model využitelný pro teorii či praxi AI. Diskusi rozdílu mezi logickým a sémantickým modelováním provedeme v závěru článku: ukážeme, že dobré inferenční (logické) modelování nemusí být pro potřeby informatiky dostatečné, i pokud plně vyhovuje z hlediska formální logiky.

2	Nerozlišitelnost a introspekce

Fenomén vágnosti má mnoho podob a projevů. Důležitou třídu z nich tvoří ty, v nichž je vágnost důsledkem nerozlišitelnosti blízkých hodnot nějaké vlastnosti, a lze ji tudíž prostřednictvím vhodného modelu této nerozlišitelnosti popsat. Příkladem je vágnost vlastnosti vysoký, neboť velmi blízké hodnoty výšky jsou observačně nerozlišitelné (např. u výšky člověka hodnoty lišící se o méně než desetinu milimetru). Podobně lze pomocí observační nerozlišitelnosti popsat takové vlastnosti jako horký, vzdálený, červený apod. V žádném z těchto případů se obecně nejedná o nějakou principiální nerozlišitelnost instancí (jež mohou být rozlišeny např. lepším přístrojem), nýbrž o běžnou nerozlišitelnost pro daného agenta, který má o těchto instancích usuzovat.
Relace nerozlišitelnosti (ať už mezi hodnotami vlastnosti nebo mezi předměty, které ji vykazují) je obvykle chápána jako reflexivní a symetrická. Klasický paradox Poincarého [8] však ukazuje, že navzdory běžné intuici relace nerozlišitelnosti nemůže být tranzitivní. Jednoduchý argument je založen na tom, že snadno najdeme řady předmětů a0, …, an, v nichž jsou vždy sousední předměty ai, ai+1 nerozlišitelné, ale a0 je snadno rozlišitelné od an (např. řada pěti set lidí lišící se výškou o desetinu milimetru). Kdyby relace nerozlišitelnosti tranzitivní byla, induktivní iterací bychom vždy dospěli k tomu, že všechna a0, …, an jsou vzájemně nerozlišitelná. V klasickém přístupu to je vnímáno jako paradox, neboť intuitivně se nerozlišitelnost a od b a b od c zdá implikovat i nerozlišitelnost mezi a a c. (Protože se rozlišitelnost běžně projeví až při delších řadách postupně nerozlišitelných předmětů, jde vlastně o druh paradoxu hromady.)
Způsob, jakým lze Poincarého paradox odstranit při použití deduktivní fuzzy logiky, bude naznačen v oddílu 4. Zde se v rámci klasické logiky podívejme, jak netranzitivita relace nerozlišitelnosti vylučuje principy pozitivní i negativní introspekce agentů. Williamson [9] uvádí následující argument, který introspekci v případech vágnosti založených na nerozlišitelnosti přivádí ke sporu.
Předpokládejme, že pan Bystrozraký pozoruje zdálky strom. Z této vzdálenosti je schopen odhadovat jeho výšku, rozdíly menší než jeden metr však odlišit nedokáže (tyto možnosti stavu světa jsou tedy pro něj nerozlišitelné), a tohoto svého omezení si je vědom (tj. ví, že menší rozdíly neumí odhadnout; tento předpoklad je zcela plausibilní – místo 1 metru lze v argumentu uvažovat např. 1 mikrometr). Ze své zkušenosti snadno pozná (tedy ví), že tento strom je určitě vyšší než 10 metrů. Díky pozitivní introspekci tedy ví, že ví, že tento strom je vyšší než 10 metrů. Ví však také, že kdyby byl strom nižší než 11 metrů, nebyl by jeho výšku schopen odlišit od hodnoty nepřesahující 10 metrů, a tedy by nevěděl, že tento strom je vyšší než 10 metrů. Protože to však ví (a díky introspekci ví, že to ví), musí být strom ve skutečnosti vyšší než 11 metrů. Jakožto logicky racionální agent si tedy může odvodit, že strom je určitě vyšší než 11 metrů, a pokračovat v úvaze stejným způsobem (kdyby strom byl vysoký nejvýše 12 metrů, nevěděl by, že je vyšší než 11 metrů atd.). Takto může pokračovat libovolně dlouho, dokud nedospěje k hodnotě, kterou (díky netranzitivitě nerozlišitelnosti) umí zcela bezpečně odlišit od desetimetrové výšky a která tudíž představuje spor.
Za rozumného předpokladu, že si je agent vědom nějakého omezení svých rozlišovacích schopností, jsme tedy přivedli předpoklad jeho pozitivní introspekce ke sporu. Argument proti negativní introspekci je podobný.
V rámci klasické logiky tedy Poincarého paradox, způsobující netranzitivnost nerozlišitelnosti, vylučuje možnost předpokládat pozitivní i negativní introspekci agentů, je-li ve hře vágnost založená na nerozlišitelnosti. Protože však jsou takové situace velice běžné (je spíše obtížné najít v realitě predikáty, u nichž není ve hře žádná nerozlišitelnost) a protože princip introspekce je v mnoha situacích užitečné předpokládat, může být žádoucí hledat takový model vágních znalostí, který introspekci agentů i v přítomnosti nerozlišitelnosti umožňuje. V následujících oddílech ukážeme, že takovým modelem může být vhodně fuzzifikovaná epistemická logika.

3	Deduktivní fuzzy matematika

Jedním z nástrojů vyvinutým pro sémantické modelování vágnosti je fuzzy logika, která vágnost modeluje prostřednictvím stupňů částečné pravdivosti. Pro aplikační praxi bylo vytvořeno velké množství systémů fuzzy logiky, hlediskům logické dedukce (ve smyslu přenášení částečné logické pravdivosti) však vyhovuje pouze úzká třída fuzzy logik, zvaných t-normové (též deduktivní nebo residuované – název zatím není ustálen). Mezi ně patří zejména logiky systematizované P. Hájkem [6] (Łukasiewiczova, Gödelova a produktová fuzzy logika a logika BL všech spojitých t-norem) a další jim příbuzné systémy. Pro zdárné vyřešení výše naznačených paradoxů z hlediska logické dedukce je třeba použít právě je; ostatní varianty fuzzy logiky běžně používané v aplikacích nemají pro tento účel potřebné inferenční vlastnosti (ty totiž nejsou v jejich aplikacích vyžadovány – podrobnosti k tomuto rozlišení lze najít v [2]). Omezíme se zde na základní výrokové t-normové logiky a jejich standardní sémantiku na reálném intervalu [0, 1]; více informací o t-normových fuzzy logikách lze najít např. v Hájkově monografii [6].
Ve standardní sémantice používají t-normové fuzzy logiky jako systém pravdivostních hodnot interval [0, 1]. Hodnota 1 přitom odpovídá plné pravdivosti, hodnota 0 plné nepravdivosti a mezilehlé hodnoty stupňům částečné pravdivosti. Pravdivost složených výroků se vyhodnocuje pravdivostními funkcemi, přičemž pravdivostní funkce pro konjunkci je některá z tzv. t-norem, neboli binární funkce  splňující několik přirozených podmínek (komutativitu, asociativitu, monotonii, neutralitu hodnoty 1 a spojitost či obecněji spojitost zleva). Nejdůležitějšími spojitými t-normami jsou:
•	minimová (Gödelova)	x  y = min(x, y)
•	produktová	x  y = x  y
•	Łukasiewiczova	x  y = max(0, x + y  1)
Každá zleva spojitá t-norma jednoznačně určuje tzv. residuum , obecně definované jako
(x  y) = sup {z | z  x  y},
které je vhodnou pravdivostní funkcí pro implikaci, neboť je nejslabší funkcí, která spolu s  činí pravdivým fuzzifikované odvozovací pravidlo modus ponens
x  (x  y)  y.
Důležitou vlastností residua je, že jeho hodnota je rovna 1 (tedy jím realizovaná implikace je plně pravdivá), právě když pravdivost konsekventu je aspoň tak velká jako pravdivost antecedentu, formálně
	(x  y) = 1, právě když x  y.	(1)
To spolu s faktem, že
	((x  y)  z) = (x  (y  z)),	(2)
činí t-normové fuzzy logiky vhodnými k formalizaci přenášení částečné pravdivosti. První fakt totiž vyjadřuje, že plně pravdivá implikace přenáší částečnou pravdivost, a druhý, že  odpovídá kumulování premis ve fuzzy úsudcích.
Pravdivostní funkce ostatních výrokových spojek jsou definovány pomocí  a , například negace jako x  0 (reductio ad absurdum). V predikátovém počtu se navíc kvantifikátory  a  vyhodnocují po řadě jako infimum a supremum hodnot nabytých všemi instancemi. Tautologie fuzzy logiky dané t-normou  jsou definovány jako ty formule, které se při každém ohodnocení vyhodnotí pravdivostními funkcemi na hodnotu 1, tedy jsou plně pravdivé bez ohledu na stupeň pravdivosti atomických výroků. Tautologie příslušné fuzzy logiky tak vyjadřují obecné zákony korektního usuzování s výroky, které mohou být jen částečně pravdivé – tj. formy úsudků přenášejících stupeň pravdivosti výroku. V ještě obecnějším přístupu se uvažují tautologie vůči všem možným spojitým (či zleva spojitým) t-normám. Jejich logika (tj. Hájkova logika BL všech spojitých t-norem či obecnější logika MTL všech zleva spojitých t-norem, viz [5]) pak vyjadřuje zcela obecné logické zákony přenášení částečné pravdivosti, nezávislé na konkrétní realizaci pravdivostních funkcí konjunkce a implikace (předpokládají se pouze jejich rozumné vlastnosti zakládající definice t-normy a jejího residua).
Výrokové tautologie všech hlavních fuzzy logik jsou axiomatizovatelné přehlednou sadou axiomů; predikátové tautologie jsou axiomaticky alespoň aproximovatelné, tj. deduktivně lze z axiomů podle pravidel dané fuzzy logiky odvozovat její tautologie – ne sice všechny, neboť úplnost vůči standardní sémantice platí jen pro některé predikátové fuzzy logiky, alespoň však pro praktické účely jejich dostatečně širokou třídu. Používáním vybrané fuzzy logiky namísto logiky klasické tak můžeme odvozovat plně pravdivé věty i v situaci, kdy jsou některé výroky vágní (tj. pravdivé toliko částečně). Tímto způsobem lze budovat nejen jednoduché sémantické modely, ale celou deduktivní fuzzy matematiku [3]. Její teorémy jsou odvozovány z axiomů pomocí pravidel (zvolené) deduktivní fuzzy logiky (nikoli tedy, jak je v matematice obvyklé, podle zákonů logiky klasické), a jsou proto platné i v případě, že některé z jejích výroků jsou pouze částečně pravdivé. Formule a pojmy deduktivní fuzzy matematiky jsou přitom (až na nutná zobecňování) analogické pojmům matematiky klasické – vágnost je do deduktivní fuzzy matematiky vnášena právě a pouze užitím formální fuzzy logiky k usuzování. Například vlastnost tranzitivity relace R, která nyní ovšem může nabývat i mezilehlých pravdivostních hodnot mezi 0 a 1, je v deduktivní fuzzy matematice definována naprosto stejnou formulí jako v matematice klasické, totiž
(x, y, z)(Rxy & Ryz  Rxz).
Protože však nyní pracujeme v deduktivní fuzzy matematice, je s touto formulí zacházeno pomocí pravidel deduktivní fuzzy logiky. V sémantice tedy musíme logické spojky a kvantifikátory interpretovat pomocí výše uvedených pravdivostních funkcí, tj.  jako infimum, konjunkci & jako t-normu  a implikaci  jako její residuum . S ohledem na (1) to znamená, že relace R je plně tranzitivní (tj. její tranzitivita je plně pravdivá, čili má pravdivostní hodnotu 1) právě tehdy, když pro všechna x, y, z platí
	Rxy  Ryz  Rxz	(3)
(tento pojem plné tranzitivity fuzzy relace se shoduje s pojmem tzv. T-tranzitivity používaným i v tradiční, tj. nededuktivní fuzzy matematice). Tato fuzzifikovaná tranzitivita přitom hraje ve fuzzy matematice obdobnou roli jako obvyklá tranzitivita v matematice klasické (např. pro nevágní, dvojhodnotové relace oba pojmy splývají). Je přitom důležité si všimnout, že i plně tranzitivní fuzzy relace může mít hodnotu Rxz menší než obě hodnoty Rxy a Ryz, je-li některá z nich různá od 0 a 1 (tedy je-li ve hře vágnost), neboť t-normy obecně mohou pravdivost takto snižovat: například v produktové t-normě stačí hodnota Rxz větší nebo rovna 0,81, jsou-li obě hodnoty Rxy a Rxz rovny 0,9. Plausibilitu takového snižování pravdivostní hodnoty v konjunkci lze zdůvodnit tím, že neúplnost pravdivosti obou konjunktů se konjunkcí kombinuje, a tedy skládá (zesiluje). Tento fakt hraje důležitou roli jak v sémantickém modelování paradoxu hromady v deduktivní fuzzy logice, tak v modelování jemu příbuzného paradoxu Poincarého a při obejití Williamsonova argumentu proti introspekci agentů.

4	Fuzzy nerozlišitelnost a introspekce

Podívejme se nyní, jak lze výše nastíněný aparát deduktivní fuzzy logiky aplikovat na situaci Poincarého paradoxu a Williamsonova odmítnutí introspekce znalostí podléhajících nerozlišitelnosti. 
Deduktivní fuzzy logika nám umožňuje uvažovat relaci nerozlišitelnosti nejen jako ostrou (dvojhodnotovou), ale i jako připouštějící stupně nerozlišitelnosti (tj. jako fuzzy relaci). Protože ostré pojetí vedlo k paradoxu, budeme přirozeně hledat řešení Poincarého paradoxu právě prostřednictvím fuzzy relací. Chápání nerozlišitelnosti jako fuzzy relace je navíc velmi plausibilní, neboť si lze snadno představit stupně nerozlišitelnosti mezi plnou rozlišitelností a plnou nerozlišitelností – stačí uvážit případy na hranici rozlišitelnosti a v jejím okolí. Řešení Poincarého paradoxu je pak nasnadě, a je podobné řešení paradoxu hromady v deduktivní fuzzy logice (popsaném v [7]):
Nerozlišitelnosti sousedních členů řady a0, …, an budeme připisovat velmi vysokou (téměř plnou) míru nerozlišitelnosti, přesto však nepatrně menší než 1 (např. 0,999). Její vysoká hodnota, prakticky nerozlišitelná od 1, indikuje praktickou nerozlišitelnost těchto sousedních hodnot zkoumané vlastnosti; její různost od 1 (byť nepatrná) pak odpovídá tomu, že se sousední ai v této vlastnosti přece jen (byť nepatrně) liší (plně nerozlišitelné jsou jen samy od sebe). Protože nerozlišitelnost chápeme jako fuzzy relaci, nemá pro ni klasický pojem tranzitivity smysl (ten se vztahuje pouze na klasické ostré relace); můžeme však zcela smysluplně předpokládat, že tato relace je tranzitivní ve fuzzy smyslu, tj. že splňuje (3). Podle pozorování uvedeného na konci předchozího oddílu pak může nerozlišitelnost ai od a0 s rostoucím i postupně klesat (případně až k plné rozlišitelnosti), přestože je fuzzy relace nerozlišitelnosti plně tranzitivní. Kupříkladu je-li Raiai+1 pro všechna i rovna 0,999, pak ve standardní Łukasiewiczově logice bude podmínka (3) vyjadřující plnou tranzitivitu fuzzy relace zaručovat Ra0a2 pouze ve stupni alespoň 0,998, Ra1a3 alespoň 0,997 atd. Hodnota Ra0a1000 pak i při plné tranzitivitě nerozlišitelnosti může být nulová, tedy a0 a a1000 plně rozlišitelné; to přesně odpovídá běžné zkušenosti a paradox je tím eliminován. Pro konkrétní situaci je samozřejmě třeba příslušně vyladit hodnoty pravdivosti v modelu, například při použití standardní Łukasiewiczovy logiky je třeba modelovat nerozlišitelnost sousedních členů řady hodnotou nejvýše rovnou 1  1/n, jsou-li a0 a an plně rozlišitelné.
Podobným způsobem lze použitím fuzzy logiky udržet předpoklad introspekce v situaci popisované Williamsonem. Řešení je založeno na tom, že nejen relaci nerozlišitelnosti, ale i samotné znalosti agenta uvažujeme nikoli ostře (dvojhodnotově), nýbrž ve stupních. Připouštíme-li totiž, že agent může mít znalosti podléhající fuzzy relaci nerozlišitelnosti a že si je jejich nerozlišitelnosti vědom, je třeba připsat stupně pravdivosti i výrokům K o jeho znalostech (kde K vyjadřuje výrok „agent ví, že “); v opačném případě by nás (nejen) Williamsonův argument přivedl ke sporu. Připustíme-li však pro výroky K mezilehlé pravdivostní hodnoty a aplikujeme-li důsledně aparát deduktivní fuzzy logiky, vyhneme se sporu ve Williamsonově argumentu podobným způsobem jako v případě Poincarého paradoxu. I přes plnou tranzitivitu fuzzy relace nerozlišitelnosti ve smyslu podmínky (3) a přes plnou platnost fuzzifikovaného předpokladu introspekce bude totiž pravdivostní hodnota tvrzení „agent ví, že strom je vyšší než h“ v krocích Williamsonova argumentu ubývat stejným způsobem, jako u paradoxu Poincarého.
Z prostorových důvodů zde nebudeme popisovat technické detaily tohoto řešení: podrobný popis by vyžadoval vybudování plného aparátu epistemické fuzzy logiky, načrtnutého stručně v [1]; v rámci deduktivní fuzzy logiky je navíc doplnění těchto detailů poměrně přímočaré (zvl. uvažujeme-li Scottovy–Montaguovy modely popsané v [4]). Všimněme si místo toho některých důsledků takovéhoto řešení. Pozastavme se předně nad tím, že jsme v minulém odstavci hovořili o fuzzifikovaném předpokladu introspekce agentů. Jsou-li totiž agentovy znalosti vágních výroků (tj. připouštějících částečnou pravdivost) samy chápány jako vágní (k čemuž jsme byli za podmínek Williamsonova argumentu přinuceni), tj. mohou-li být jen částečně pravdivé, je třeba pro nakládání s formulemi tvaru K rovněž používat fuzzy logiku, nikoli logiku klasickou. Axiom pozitivní introspekce K  KK je proto nutno interpretovat ve smyslu fuzzy logiky, tedy ne jako tvrzení o ostrých znalostech „ví-li agent , pak ví, že ví “, nýbrž jako komparativní tvrzení dané sémantikou implikace jakožto residua, tj. dle vlastnosti (1), „nakolik agent ví , natolik také ví, že ví “. Axiom pozitivní introspekce tedy v rámci deduktivní fuzzy logiky říká, že pravdivost KK je alespoň taková, jaká je pravdivost K. Právě a pouze v tomto „fuzzifikovaném“ smyslu jsme pozitivní introspekci uhájili před Williamsonovým argumentem, podobně jako byla před Poincarého paradoxem uhájena fuzzifikovaná, nikoli klasická tranzitivita nerozlišitelnosti (klasická introspekce by totiž pro fuzzy znalosti neměla smysl, podobně jako jej nemá klasická tranzitivita pro fuzzy relace). Fuzzy axiom introspekce přitom hraje ve fuzzy epistemické logice obdobnou roli, jako klasický axiom introspekce v klasické epistemické logice; přechodem k fuzzy logice a uvažováním fuzzy znalostí agenta jsme se tak uchránili Williamsonova argumentu, který v klasické logice pozitivní introspekci vylučoval. Příslušná úvaha pro negativní introspekci je opět analogická.
Zdůrazněme, že naše řešení je umožněno plným přijetím deduktivní fuzzy logiky pro usuzování o nerozlišitelnosti – nikoli tedy pouhým nahrazením dvou hodnot relace celým jednotkovým intervalem, ale změnou způsobu usuzování o takové relaci. Přirozené předpoklady o modalitě znalosti potom vyžadují, aby se nejen o faktických, ale i epistemických výrocích uvažovalo pomocí fuzzy logiky, a to jak z hlediska vlastního usuzování agenta (jeho logická racionalita musí odpovídat fuzzy logice, usuzuje-li o fuzzy výrocích), tak i z hlediska jeho popisu (naše epistemická logika popisující agentovo usuzování je tím fuzzifikována). Rozhodneme-li se tedy modelovat nerozlišitelnost pomocí fuzzy logiky, je příhodné fuzzifikovat veškeré epistemické usuzování naše i agentů. Odměnou za toto radikální opuštění klasické logiky je potom eliminace mnoha paradoxů založených (skrytě či zjevně) na fenoménu vágnosti.

5	Logické a sémantické modely

Pro adekvátní zhodnocení použitelnosti výše uvedených řešení pro praktické potřeby (např. v AI) je ovšem třeba mít na zřeteli důležitý fakt, totiž že se zde jedná pouze o logické modelování daných situací, zatímco praxe jiných disciplin vyžaduje spíše dobré vlastnosti konkrétních sémantických modelů. Přestože jsme výše podali argumenty, že fuzzy logika poskytuje v některých ohledech adekvátnější logický model usuzování agentů za přítomnosti nerozlišitelných hodnot vlastností, zůstává otázkou, zda z něj lze vyrobit sémantický model vhodný pro mimologické aplikace. Tento rozdíl a z něj vyplývající problém ozřejmíme v této závěrečné sekci podrobněji.
Logiku lze charakterizovat jako formální vědu zabývající se strukturou úsudků zachovávajících nějakou kvalitu výroků: v případě klasické logiky strukturou úsudků přenášejících pravdivost, v případě fuzzy logiky přenášejících částečnou pravdivost, atd. Zajímají ji tedy především obecné zákony korektní inference; k jejich zkoumání sice používá sémantické modely, ty jsou však v podstatě pomocné – pro získání obecně platných zákonů inference logika od konkrétních modelů abstrahuje, přesněji řečeno generalizuje přes ně: obecně platný zákon inference je ten, který platí v každém přípustném modelu. Jinými slovy, protože studuje obecné zákony, jednotlivý model jako takový logiku vlastně příliš nezajímá, neboť co platí v konkrétním modelu může být specifické pro tento model; teprve co platí ve všech modelech dané třídy je obecným zákonem pro tuto třídu modelů. Speciálně se logika nezajímá o to, jaké konkrétní hodnoty jsou přiřazeny proměnným v jejích formulích (chápe je skutečně jako proměnné), neboli jak jsou její (mimologické) symboly interpretovány; studuje, co platí ve všech interpretacích. Kromě svých vlastních, logických symbolů (jako jsou výrokové spojky či kvantifikátory) nepřiřazuje ostatním symbolům žádnou pevnou interpretaci a umožňuje je interpretovat jakkoli (v tom právě spočívá její obecnost); používá tedy neinterpretovaný jazyk.
Naproti tomu v konkrétních aplikacích logiky (v informatice, lingvistice apod.), při nichž používáme stejné sémantické modely jako v logice samé, se obvykle zajímáme právě o ten konkrétní model, který vystihuje modelovanou situaci – používáme konkrétní interpretaci, náš jazyk je interpretovaný. Zatímco logika se obecně nestará o to, zda symbol p znamená „prší“, „je sobota“, nebo „Země je kulatá“, protože její zákony (jako p  p) platí pro každou z těchto interpretací, v konkrétní aplikaci na významu těchto symbolů záleží – chceme získat predikci o konkrétních sémantických hodnotách (např. pravdivostních). Pracujeme tedy s konkrétním modelem situace, kterou chceme zachytit, a naopak jsou to generalizace prováděné logikou, které jsou nyní toliko pomocné: obecné zákony jsou jistě užitečné, hlavní je ale jejich aplikace na konkrétně specifikovanou situaci, jež nás zajímá (tj. konkrétní sémantický model).
Rozdíl je dobře vidět na formální fuzzy logice a její aplikaci v praxi. Formální fuzzy logika chápe konkrétní pravdivostní hodnoty (0.74687) jen jako pomocné a nezajímá ji, jaké konkrétní číslo výroku přiřadíme: její tautologie totiž vyjadřují úsudky, které jsou na těchto konkrétních číslech nezávislé – platí pro libovolné ohodnocení. Už vůbec se nestará, jak bychom k ohodnocení výroku konkrétním pravdivostním stupněm (např. výroku „je hezky“ číslem 0.342) mohli dojít – pro obecné zákony usuzování zachovávající tyto stupně je to irrelevantní. Naopak v inženýrské praxi je třeba nejen stanovit, jak ohodnotit konkrétní výroky, ale i jak vypočítat pravdivostní hodnotu složeného výroku (například konjunkce A & B). Zda daná formální fuzzy logika takový výpočet umožní, je zcela jiná otázka než ta, zda dobře popisuje správné inference: logiky konkrétních t-norem (jako je Łukasiewiczova nebo produktová) takový vzoreček poskytnou, zatímco Hájkova logika BL, abstrahující i od konkrétní spojité t-normy, nikoli. Uvedenou vlastnost logiky BL lze přitom z logického hlediska chápat jako přednost, neboť abstrahuje od dalšího aspektu konkrétních modelů – eliminuje tak oprávněný dotaz, proč by měla být konjunkce realizována právě např. Łukasiewiczovou t-normou, a ne nějakou jí velmi blízkou; z hlediska aplikačního je však už pro konkrétní výpočty pravdivostních hodnot abstraktní příliš. Její význam přesto spočívá v tom, že její zákony platí v každém konkrétním modelu (např. pravdivostní hodnoty jejích tautologií nemusíme v žádné konkrétní t-normové logice počítat – víme, že vždy vyjdou 1).
Podobný, a pouze takový význam má fuzzy logické modelování usuzování agentů uvedené v předchozím oddíle. Z inferenčního hlediska dává lepší výsledky než přímočaré modelování klasickou logikou (tj. vyhne se některým paradoxům), avšak budou-li jeho sémantické modely využitelné v praxi, záleží na jiných vlastnostech než inferenční přiměřenosti (jak bylo vidět na příkladu s logikou BL; o dalších vhodných vlastnostech, jako např. potřebě nízké výpočtové složitosti, ani nemluvě).
Role formální logiky pro aplikace v AI je tedy v tomto smyslu omezená. Spočívat může zejména ve třech oblastech:
1.	Některé z jejích inferenčně přijatelných modelů mohou být nakonec vhodné i aplikačně (přestože to třeba nebylo prvotním cílem logického modelování).
2.	Poskytuje obecné zákony platné v každém konkrétním modelu; ty mohou v konkrétním modelu hrát roli omezujících podmínek, i pokud nejsou konkrétně vyčíslitelné.
3.	Popisuje zákony usuzování, je tedy relevantní v těch případech, kdy jde o implementaci či reglementaci skutečného usuzování agentů podle jejích pravidel.
Je nicméně zřejmé, že není-li logické modelování předem vedeno snahou zajistit aplikačně přijatelné modely (jak je tomu např. v nemonotonních logikách pro belief revision či některých aplikačně orientovaných modálních logikách), nýbrž vychází z vnitřních logických motivací, je mezi aplikační praxí v AI a samotným logickým modelováním nutná ještě mezivrstva zaměřená na možnosti jejich spojení (srovnatelná snad s mezivrstvou pojistné matematiky mezi obecnou teorií pravděpodobnosti a konkrétními výpočty pojistných událostí). I bez této souvislosti by však abstraktní logické modelování mělo být pro kognitivní vědy zajímavé jako možný nástroj hlubšího pochopení relevantních fenoménů, jakými jsou vágnost či znalosti, z hlediska jejich obecně-logických, inferenčních vlastností.

Poznámka: Práce je podpořena grantem IAA900090703 Grantové agentury AV ČR “Dynamické formální systémy” a výzkumným záměrem AV0Z10300504 “Informatika pro informační společnost: Modely, algoritmy, aplikace”.

Literatura
 
[1]	L. Běhounek: Dvě souvislosti mezi epistemickou a fuzzy logikou. In: Kognícia a umelý život VII (V. Kelemen, V. Kvasnička a J. Pospíchal, eds.), Slezská univerzita v Opavě, 2007: 37 – 42.

[2]	L. Běhounek: On the difference between traditional and deductive fuzzy logic. Fuzzy Sets and Systems, v tisku, doi:10.1016/j.fss.2007.12.004.

[3]	L. Běhounek, P. Cintula: From fuzzy logic to fuzzy mathematics: a methodological manifesto. Fuzzy Sets and Systems 157 (2006) 642 – 646.

[4]	L. Běhounek, P. Cintula: Modal fuzzy logics based on Scott–Montague semantics. Abstrakty konference Trends in Logic V: Many-Valued Logic and Cognition, Canton 2007: 2 – 3.

[5]	F. Esteva, L. Godo: Monoidal t-norm based logic: towards a logic for left-continuous t-norms. Fuzzy Sets and Systems 124 (2001) 271 – 288.

[6]	P. Hájek: Metamathematics of Fuzzy Logic. Kluwer, Dordrecht 1998.

[7]	P. Hájek, V. Novák: The sorites paradox and fuzzy logic. International Journal of General Systems 32 (2003) 373 – 383.

[8]	H. Poincaré: La valeur de la science. Flammarion, Paris, 1904.

[9]	T. Williamson: Vagueness. Routledge, 1994.