Dvě souvislosti mezi epistemickou a fuzzy logikou

Libor Běhounek

Ústav informatiky Akademie věd České republiky, v.v.i. 
Pod Vodárenskou věží 2, 187 02 Praha 8, Česká republika
behounek@cs.cas.cz

Abstrakt
Epistemická logika zachycuje epistemické stavy a usuzování agentů, zatímco fuzzy logika je formálně-logickým popisem vágnosti; přes tuto rozdílnost lze obě logiky smysluplně kombinovat. Jedním směrem zkoumání je jejich spojení v epistemickou fuzzy logiku, jež popisuje usuzování agentů o vágních výrocích. Tato syntéza nebyla doposud uspokojivě vyřešena – poukážeme na její problémy a možné směry dalšího zkoumání. Druhým směrem je založení epistemické logiky na fuzzy logice: modalita proveditelné znalosti agenta je vágní (podléhá paradoxu hromady), pro její modelování tedy lze využít fuzzy logiku. Ukážeme, že tento přístup odstraňuje paradox logické vševědoucnosti a je instancí obecné projekce dynamické logiky jako logiky akcí do fuzzy logiky v její reinterpretaci jakožto logiky nákladů (ceny).

1	Úvod

Tento příspěvek předkládá dva směry kombinování epistemické logiky, která se snaží formálně zachytit logické usuzování o znalostech agentů, s formální fuzzy logikou, která je jedním z nástrojů popisu výroků o neostře vymezených jevech. Po stručném uvedení jednoduchých systémů epistemické a fuzzy logiky v oddílech 2 a 3 je oddíl 4 věnován epistemické fuzzy logice, rozšiřující výrokovou fuzzy logiku o epistemické modality, a dosud nevyřešeným problémům v samotných jejích základech. Oddíl 5 pak ukazuje způsob, jak lze použitím formální fuzzy logiky řešit paradox logické vševědoucnosti agentů, který je proti-intuitivním důsledkem některých jednoduchých systémů epistemické logiky, a souvislost tohoto přístupu s modelováním agentů s omezenými zdroji.
Vzhledem k omezenému rozsahu tohoto příspěvku a zaměření celého sborníku jsou zde technické výsledky pouze naznačeny a důraz je kladen na neformální expozici; podrobnosti lze najít v citované literatuře. Protože jde o aktuálně prováděný výzkum, jedná se v některých případech pouze o naznačení perspektivních směrů zkoumání, jehož výsledky budou teprve publikovány. Cílem článku je především upozornit na možnosti uplatnění formální fuzzy logiky v informatice (zejména takové, které přinesl vývoj v několika posledních letech) i mimo tradiční oblasti jejích aplikací.

2	Epistemická logika

Epistemická logika se snaží do svého aparátu zahrnout takové prostředky, které umožňují popis logického vyplývání mezi výroky o znalostech agentů. Vedle faktuálních výroků A (např. „venku prší“) proto uvažuje i logickou strukturu výroků tvaru „agent a ví, že A“ a vztahy mezi takovými výroky. Podle toho, kolik a jakých agentů přitom připouštíme, jakou logickou strukturu výroku A uvažujeme a jak interpretujeme a modelujeme modalitu „ví“, dostáváme různé druhy epistemické logiky.
Protože se i v epistemické logice jedná o modelování fenoménů, které jsou výrazně složitější než jakékoli naše modely, nelze v jediném modelu postihnout veškeré aspekty zkoumaných jevů. Volba konkrétního aparátu epistemické logiky pro daný účel je proto hledáním vhodného kompromisu mezi jeho obecností, přesností a složitostí. Problém adekvátního popisu logických vztahů mezi výroky o znalostech agentů se přitom ukazuje být natolik složitým, že hlavní důraz je dosud kladen na modelování pouze těch nejjednodušších logických vztahů. Nejobvyklejší variantou epistemické logiky je proto výroková epistemická logika, jejíž jazyk obsahuje pouze výrokové spojky (konjunkci , disjunkci , negaci , implikaci , ekvivalenci ) a základní modality popisující znalosti agentů, například KaA „agent a ví A“ (pro všechny uvažované agenty) nebo CA, „A je všeobecnou znalostí všech agentů“ (tedy všichni agenti vědí A a všichni agenti vědí, že všichni vědí A atd.). Modality i spojky je možno libovolně kombinovat a řetězit; příkladem správně utvořené formule je tedy například Ka(Kbp  KbKa(p  q)), tj. „agent a ví, že agent b ví p a že agent b neví, že agent a ví, že pokud p, pak q“. Syntaxí se tedy tato jednoduchá varianta epistemické logiky shoduje s výrokovou modální logikou, pouze místo jediné modality nutnosti  uvažuje celou sadu modalit Ka pro každého agenta a. Ukazuje se, že obvyklé axiomy (multi)modální logiky mají přirozenou interpretaci i pro modality Ka:
•	Axiom K, KaA  Ka(A  B)  KaB, vyjadřuje logickou racionalitu agenta: pokud agent a ví A a rovněž ví, že A implikuje B,  může si odvodit (tedy ví), že B.
•	Axiom T, KaA  A, vyjadřuje fakticitu znalostí: pokud agent ví A, pak A je pravdivé (nepravdivé znalosti totiž nejsou znalosti, nýbrž jen přesvědčení).
•	Axiom 4, KaA  KaKaA, vyjadřuje agentovu schopnost pozitivní introspekce: pokud ví A, pak umí rozpoznat (tedy ví), že ví A.
•	Axiom 5, KaA  KaKaA, vyjadřuje agentovu schopnost negativní introspekce: pokud agent neví A, pak umí rozpoznat (tedy ví), že neví A.
Podobně má přirozenou epistemickou interpretaci i běžná kripkovská sémantika (multi)modální logiky, definovaná takto: sémantické modely tvoří nějaká množina možných stavů světa a každému agentovi odpovídá binární relace Ra mezi stavy; formule KaA je ve stavu s pravdivá, pokud je formule A pravdivá v každém stavu s dosažitelném ze stavu s jedinou iterací relace Ra, tedy v množině stavů sRa = {s | sRas}. Epistemická interpretace relace Ra je taková, že v každém stavu s množina sRa vyznačuje ty stavy, které agent na základě svých znalostí připouští jako možné stavy aktuálního světa.
Protože tedy je možno sémantiku výrokové multimodální logiky interpretovat epistemicky a protože rovněž axiomy výrokové (multi)modální logiky mají přirozenou epistemickou interpretaci, je jednou z nejjednodušších variant výrokové epistemické logiky samotná logika multimodální, toliko epistemicky reinterpretovaná. Podle předpokládaných schopností jednotlivých agentů (např. zda jsou schopni negativní, nebo jen pozitivní introspekce) se potom volí konkrétní axiomy modalit Ka (obvykle právě některé z axiomů K, T, 4 či 5); jako minimum se bere alespoň přijetí axiomů K (logická racionalita) a axiomu T (definiční vlastnost znalosti na rozdíl od přesvědčení; logiku přesvědčení lze získat nahrazením axiomu T axiomem KaA  KaA, vyjadřujícím logickou konzistenci přesvědčení). Přijatá kripkovská sémantika modální logiky dále vynucuje platnost odvozovacího pravidla necesitace (z A lze odvodit KaA), jehož významu a důsledkům se budeme věnovat v oddílu 5. Další modifikace multimodální epistemické logiky lze získat přidáváním axiomů a pravidel pro modalitu společné znalosti agentů C apod.
Popsaná multimodální epistemická logika je velmi jednoduchým modelem logických vztahů mezi epistemickými výroky. Její záběr proto není nijak široký – umožňuje pouze výrokový popis znalostí agentů, tedy jen atomické znalosti a jejich kombinace výrokovými spojkami (nikoli už relační nebo kvantifikační vztahy, nutné např. pro usuzování o znalostech spoluhráčů a protihráčů i ve velmi jednoduchých herních situacích apod.). Rovněž adekvátnost popisu u této jednoduché epistemické logiky značně pokulhává – oproti skutečným znalostním schopnostem agentů značně zjednodušuje a idealizuje, takže v některých případech dává i zcela nerealistické predikce. Jedním z jejích nejzávažnějších proti-intuitivních důsledků je tzv. logická vševědoucnost agentů, kterou budeme podrobněji diskutovat v oddílu 5; tam rovněž uvedeme příklady modifikací epistemické logiky (obvykle za cenu větší složitosti), které se snaží tento nerealistický důsledek eliminovat (včetně navrženého řešení pomocí fuzzy logiky). Přesto je multimodální epistemická logika důležitým (byť zjednodušujícím) přístupem k logickému modelování znalostí agentů, jenž dává v mnoha ohledech dobré predikce, umožňuje odvodit některá důležitá pravidla (idealizovaného) epistemického usuzování a umožňuje různé netriviální modifikace a zobecnění. Přes své nevýhody je proto (zejména pro svoji jednoduchost) dobrým východiskem pro první pokusy v kombinování epistemické a fuzzy logiky, o němž pojednáme v oddílu 4.
Podrobnější informace a odkazy na další literaturu o epistemické logice lze nalézt např. v [Me03, Ho01].

3	Formální fuzzy logika

Jako inženýrský nástroj je fuzzy logika používána od svého zavedení na konci šedesátých let. V matematické logice zkoumáme její formální aspekty z hlediska přístupu vícehodnotových logik [Há98, NPM99, Go01], s důrazem na její axiomatiku, algebraickou sémantiku a metamatematické vlastnosti (úplnost, aritmetická a výpočtová složitost apod.). Jako obor je formální fuzzy logika výrazně užší než fuzzy metody obecně, na rozdíl od nich však má zřetelně vymezenou metodologii [Bě07a]. Značného rozvoje doznala zejména v posledním desetiletí, kdy bylo navrženo a prozkoumáno velké množství nových deduktivních systémů fuzzy logiky. V tomto článku budeme potřebovat pouze dva „prototypické“ systémy formální fuzzy logiky, totiž fuzzy logiku Łukasiewiczovu a produktovou [Há98].
Standardní sémantika Łukasiewiczovy fuzzy logiky používá jako množinu pravdivostních hodnot interval [0, 1], na kterém interpretuje výrokové spojky takto:
	x & y	=	max (x  y  1, 0)
	x  y	=	min (1  x  y, 1)
	x	=	1  x
	x  y	=	min (x  y, y  x)
	x  y	=	min (x, y)
	x  y	=	max (x, y)
Łukasiewiczova fuzzy logika používá dvě spojky konjunkce, slabou  a silnou &; opominutí jedné z nich by vedlo ke špatným logickým vlastnostem tohoto systému. Standardní sémantika produktové logiky se liší pouze jinými funkcemi interpretujícími některé spojky: 
	x & y	=	x  y
	x  y	=	y / x  pro x > y, jinak 1
	x	=	1  pro x = 0, jinak 0
Za tautologie považujeme u obou logik takové formule, které se vždy vyhodnotí na hodnotu 1 (pravda); menší hodnoty označují menší stupně pravdivosti až po stupeň 0 (nepravda). Ukazuje se [Há98], že obě tyto logiky lze axiomatizovat, např. tak, že přidáme ke společným axiomům tzv. Hájkovy základní fuzzy logiky BL
(A  B)  ((B  C)  (A  C))
(A & B)  A
(A & B)  (B & A)
(A & (A  B))  (B & (B  A))
(A  (B  C))  ((A & B)  C)
((A & B)  C)  (A  (B  C))
((A  B)  C)  (((B  A)  C)  C)
0  A
v případě Łukasiewiczovy logiky axiom dvojité negace
A  A
a v případě produktové logiky axiomy
	(A  A)
A  (((A & B)  (A & C))  (B  C))
Odvozovacím pravidlem je v obou případech modus ponens, tedy z A a A  B lze odvodit B.
Usuzování v obou uvedených variantách fuzzy logiky se liší od logiky klasické: některé zákony klasické dvouhodnotové logiky – například zákon vyloučení třetího A  A, ve fuzzy logice obecně neplatí (platí jen pro ostré výroky). Výběr konkrétní fuzzy logiky záleží na specifických rysech analyzované situace: např. pro neostrou vlastnost „vysoký“ může být rozumné předpokládat, že se chová v souladu se zákonem dvojité negace (tedy že „nikoli nevysoký“ znamená totéž, co „vysoký“), a použít pro ni logiku Łukasiewiczovu, jež zákon dvojité negace obsahuje. Naopak v případě vlastnosti „vinen“ (kterou lze považovat za fuzzy, neboť vina má stupně) lze její negaci „nevinen“ chápat dvouhodnotově, a tedy použít například logiku produktovou, která má dvouhodnotovou negaci.
Metodologické předpoklady formální fuzzy logiky sice omezují možné interpretace významu jejích výrokových spojek a pravdivostních hodnot oproti (často nekorektním a neadekvátním) aplikacím inženýrských fuzzy metod [Bě07a]; přesto však formální fuzzy logika dobře popisuje důležitý druh usuzování o jevech s neostrou hranicí, daný přenášením logické pravdivosti částečně platných výroků. Díky tomu je vhodným nástrojem logické analýzy výroků o neostrých jevech, s nimiž se lze setkat na každém kroku jak v běžném životě, tak v informatice.

4	Epistemická fuzzy logika

Epistemická logika popsaná v oddílu 2 i její sofistikovanější varianty používají jako základní výrokovou logiku klasickou logiku boolovskou, zachycují tedy pouze usuzování agentů o ostrých jevech. Většina jevů, s nimiž se agenti v přirozeném světě setkávají, má však neostrou hranici, a klasická logika tak v mnoha situacích nemusí být zcela adekvátním prostředkem usuzování.
Příklad: Dejme tomu, že agent má předepsána následující pravidla:
1.	Je-li teplota vysoká, je třeba otevřít výpust.
2.	Není-li teplota vysoká, je třeba zatáhnout záklopky.
Z těchto dvou pravidel (p  q, p  r) lze podle klasické logiky odvodit „je třeba otevřít výpust nebo je třeba zatáhnout záklopky“ (q  r). Tento závěr však nemusí být adekvátní, neboť prostřední teplota (o níž nelze zcela správně tvrdit, ani že je vysoká ani že není vysoká) nemusí podle intence autora agentových pravidel ve skutečnosti vyžadovat ani jednu z obou akcí.
Vhodnějším prostředkem pro agentovo usuzování o neostrých jevech může být použití fuzzy logiky (podle níž v uvedeném případě q  r skutečně z obou premis nevyplývá). Bude-li však agent používat k usuzování fuzzy logiku, je třeba k popisu jeho usuzování kombinace epistemické a fuzzy logiky (přičemž co nejlepší popis jeho usuzování může být důležitý např. pro ostatní agenty). 
Potřeba epistemické fuzzy logiky tedy vychází přímo z faktu, že agenti mohou fuzzy logiku potřebovat pro svoje usuzování o neostrých jevech (či neostrých normách, jako v příkladu výše) svého prostředí. Spojení aparátů obou logik však není tak přímočaré, jak se může na první pohled zdát. Pro mechanické spojení epistemické a fuzzy logiky lze použít hned několik metod (například fibring, [Ga99]), výsledek takového spojení však nemusí být realistickým popisem usuzování agentů používajících fuzzy logiku. Pro adekvátnost výsledné logiky je důležité, aby její sémantické modely měly přirozenou interpretaci a dávaly intuitivně správné předpovědi logického vyplývání mezi epistemickými výroky. Problémy, jež mohou nastat, ilustrujeme na spojení jednoho z nejjednodušších modelů epistemické logiky, totiž multimodální logiky popsané v oddílu 2, s některou konkrétní fuzzy logikou, např. Łukasiewiczovou nebo produktovou.
Uvažujme nejprve sémantiku klasické výrokové multimodální epistemické logiky, popsané v oddílu 2: významem výroků jsou v ní podmnožiny množiny všech uvažovaných stavů světa (totiž množiny těch stavů, v nichž je daný výrok pravdivý). Znalosti každého agenta a jsou v každém stavu s popsány množinou sRa = {s | sRas} těch stavů světa, které agent považuje za možné. Uvažovat neostré výroky v této sémantice znamená uvažovat neostré (tj. fuzzy) podmnožiny množiny všech stavů. Ostatní definice (splňování epistemických formulí, vyplývání, tautologičnosti atd.) pak mohou zůstat stejné jako v klasické dvouhodnotové sémantice. 
Uvedená sémantika je přirozeným zobecněním multimodální epistemické logiky zahrnujícím neostré výroky, netriviálním (a dosud otevřeným) problémem je ale její axiomatizace. Prosté sjednocení obou axiomatických systémů totiž není axiomatizací uvedené sémantiky – lze ukázat, že axiom K v této sémantice obecně neplatí. Protože je ale tento axiom jedním ze základních principů epistemické logiky, vyjadřujícím logickou racionalitu agenta (a to i ohledně neostrých výroků – pravidlo modus ponens platí i ve fuzzy logice), vzniká pochybnost, zda je naznačená sémantika opravdu vhodným fuzzy zobecněním sémantiky multimodální epistemické logiky klasické. Opačná cesta od axiomatiky k sémantice je však rovněž obtížně schůdná: jednak proto, že sjednocení obou axiomatických systémů nedává kripkovské modely odpovídající stavům světa a epistemickým stavům agentů, takže sémantická reprezentace formulí výsledné logiky zůstává nejasná; zadruhé proto, že bez předběžné sémantické představy nevíme, který tvar axiomů pro epistemické modality zvolit (různé tvary axiomů ekvivalentní v klasické logice totiž často nejsou ekvivalentní ve fuzzy logice).
Uvedené problémy samotného definování epistemické fuzzy logiky nejsou zatím uspokojivě vyřešeny. Známa jsou některá částečná řešení, například pro případ, kdy ve výše uvedené sémantice připouštíme neostrost těch množin stavů, které reprezentují význam výroků, nikoli však neostrost relací Ra (agenti tedy mohou usuzovat o neostrých jevech, ale jejich znalost stavu světa je ostrá).
Hledání uspokojivého řešení výše uvedených problémů skýtá široké pole pro výzkum spojující logiku znalostí s fuzzy logikou. Jedním z jeho předpokladů je důkladné prozkoumání obecné modální fuzzy logiky, jejímž je modální epistemická fuzzy logika speciálním případem. Vzhledem k výše uvedeným problémům s platností axiomu K a níže uvedeným problémům s pravidlem necesitace je možné, že vhodnějším modelem pro epistemickou fuzzy logiku bude obecnější druh struktur než fuzzifikované kripkovské modely, například fuzzy zobecnění Scottových–Montaguových modelů (popsaných např. v [Ho01]). Ve Scottových–Montaguových modelech není epistemický stav agenta a ve stavu světa s reprezentován množinou těch stavů světa, jež jeho znalosti připouštějí, nýbrž množinou těch množin stavů, které reprezentují  výroky, jež agent ví (připomeňme, že významem výroku v prostoru stavů je množina těch stavů, kde tento výrok platí). Při jejich fuzzifikaci nahrazujeme (přibližně řečeno) ostré množiny v jejich definici fuzzy množinami; přesná definice fuzzifikovaných Scottových–Montaguových modelů byla navržena P. Cintulou a autorem tohoto článku v [BC07]. V těchto modelech nemusí platit problematické pravidlo necesitace, mohou však validovat axiom K a mají jasnou interpretaci z hlediska epistemické logiky; to je činí perspektivními kandidáty na modely epistemické fuzzy logiky. Podrobnější prozkoumání modální fuzzy logiky založené na těchto modelech teprve ukáže, jsou-li tyto naděje oprávněné.

5	Řešení paradoxu logické vševědoucnosti pomocí fuzzy logiky

Jednoduchý model epistemické logiky popsaný v oddílu 2 trpí závažnou vadou – tzv. paradoxem logické vševědoucnosti agentů. Pro každou tautologii A výrokové logiky je totiž v tomto systému dokazatelná formule KaA, každý agent tedy ví všechny výrokové tautologie. Tento důsledek je pro reálné agenty zcela nerealistický (uvažme nějakou složitou výrokovou tautologii řekněme s tisícem výrokových proměnných).
Paradox logické vševědoucnosti je důsledkem základních axiomů a pravidel epistemické modální logiky, zejména pravidla necesitace (z A odvoď KaA): je‑li A tautologií (tedy je odvoditelné), potom je podle něj odvoditelné i KaA. Pravidlo necesitace je přitom zabudováno v samotné podstatě sémantického modelu, na němž je modální epistemická logika založena: je-li A tautologií, je platné ve všech uvažovaných stavech světa libovolného modelu (tedy tím spíše ve všech stavech s  sRa); podle definice tedy agent a v každém stavu ví, že A nastává (nastává totiž vždy).
Tento nerealistický důsledek ukazuje, že model epistemické logiky načrtnutý v oddílu 2 je příliš zjednodušující. Jednoduché strategie jeho opravy nefungují – buď při nich zůstane nějaká forma logické vševědoucnosti zachována, nebo bude výsledná logika příliš slabá na to, aby byla užitečná. Například oslabení pravidla necesitace na pouhé pravidlo kongruence (z A  B odvoď KaA  KaB), které platí ve Scottových–Montaguových modelech, zachová vševědoucnost ve smyslu uzavřenosti agentových znalostí na logické ekvivalence (i velmi netriviální). Naopak blokování pravidla necesitace uvažováním i nemožných stavů světa v modelu vede k tak slabé epistemické logice, že jsou v ní dokazatelné pouze triviální, výrokově platné tautologie typu KaA  KaA, neříkající nic o vlastnostech modality Ka. Přehled takovýchto neúspěšných strategií řešení paradoxu logické vševědoucnosti lze najít např. v [Ho01].
Poučením z paradoxu logické vševědoucnosti je to, že náš model modality Ka nepopisuje reálné znalosti agenta a, nýbrž jen jeho znalosti potenciální: nikoli to, co agent aktuálně ví, ale co z jeho znalostí vyplývá (či co je z nich logicky odvoditelné, byť často za nereálně dlouhou dobu). Bez vyznačení toho, co agent reálně ví či může v reálném čase odvodit, je ale tato logika implicitních znalostí bezcenná pro praktické účely (např. pro rozhodování v herních situacích). Na druhé straně aktuální znalosti agenta však nelze obecně žádnou epistemickou logikou popsat, neboť nemusejí být uzavřené na žádná logická pravidla (agent totiž nemusel žádná odvození provést); logika explicitních znalostí je tedy bezcenná rovněž, neboť nemá žádná obecně platná pravidla. Nejzajímavější variantou epistemické logiky je proto logika proveditelných znalostí, tedy takových, které agent může reálně (v dohledném čase apod.) odvodit z těch, které již má.
Varianty epistemické logiky proveditelných znalostí, které paradox logické vševědoucnosti úspěšně řeší, proto musejí být citlivé k faktu, že realistický agent může mít aktuálně k dispozici jen omezené množství údajů a že odvozování dalších znalostí je akcí, která jej stojí nějaké zdroje (čas, paměť apod.). Jedním z nejúspěšnějších modelů proveditelných znalostí je proto dynamická epistemická logika [Ho01]. Ta do výše popsaného multimodálního kripkovského modelu přidává modality reprezentované relacemi přechodu mezi stavy, které představují akce agentů (např. jejich logické odvozování). Axiomy a pravidla způsobující logickou vševědoucnost jsou pak modifikována těmito modalitami: např. axiom K je oslaben na axiom
KaA & Ka(A  B)  FKaB
vyjadřující pouze to, že pokud agent a ví A i A  B, pak po určitém odvozování může (to je právě vyjádřeno modalitou F) vědět B. Podobně pravidlo necesitace „z A lze odvodit KaA“ je oslabeno na „z A lze odvodit FKaA“. Paradox logické vševědoucnosti je tím účinně blokován: o větách logicky odvoditelných z aktuálních znalostí agenta se netvrdí, že je zná, nýbrž jen že je může odvodit.
Vhodné axiomy pro dynamické modality (v našem příkladu jednoduchou modalitu F, jsou však možné i propracovanější modely) pak realisticky popisují dynamiku znalostí agenta. Chceme-li však popsat modalitu proveditelné znalosti agenta, nezbývá, než proveditelnost jeho odvozování nějakým způsobem měřit. Jednou možností, navrženou rovněž v [Ho01], je uvažovat místo jediné modality Ka nekonečné množství modalit Kan pro všechna přirozená n, kde KanA znamená „agent a se může dozvědět A s obtížností n“, přičemž obtížnost se měří například nutným počtem kroků či jiných zdrojů. Axiomy takovéto epistemické logiky algoritmicky získatelných znalostí potom explicitně počítají potřebné zdroje: např. axiom K  počítající potřebné odvozovací kroky zní
KanA & Kam(A  B)  Kan+m+1B
Nevýhodou tohoto přístupu je složitost potřebného aparátu (nekonečné množství epistemických modalit pro každého agenta), implicitní používání aritmetiky v syntaxi, a rovněž zbytečná přesnost – pro posouzení proveditelnosti získání znalosti obvykle nepotřebujeme znát numerický odhad potřebného počtu kroků, s nímž tento aparát pracuje, nýbrž jen vědět, že potřebný počet kroků je přiměřeně malý. A právě zde může vstoupit do hry fuzzy logika, neboť přiměřeně malý je zjevně neostrý predikát, přímo prototypicky vhodný pro modelování pomocí fuzzy logiky. 
Příhodnost fuzzy logiky pro modelování epistemické modality proveditelné znalosti lze ovšem ukázat i zcela nezávisle na uvedeném aparátu logiky algoritmických znalostí, která zde sloužila jen jako motivační příklad. Jak ukážeme, problém logické vševědoucnosti agentů je totiž obecně jedním z projevů paradoxu hromady; a protože fuzzy logika paradox hromady řeší a dává jeho dobrý sémantický model, řeší i paradox logické vševědoucnosti a dává dobrý sémantický model chování epistemické modality proveditelné znalosti. Toto řešení, jež bylo navrženo autorem tohoto textu v [Bě06] a je předmětem jeho připravovaného článku [Bě07b], zde stručně naznačíme.
Paradox hromady (sorites) nastává v situacích, kdy je pravdivý nějaký výrok p0, dále je velmi plausibilní každý z výroků pn  pn+1 (např. proto, že rozdíl mezi pn a pn+1 je neznatelný), avšak výrok pN pro nějaké velmi velké N je zjevně nepravdivý. Například: miliarda zrnek písku tvoří hromadu, odebráním jednoho zrnka hromada nepřestane být hromadou. Klasická logika musí buď popřít platnost induktivní premisy pn  pn+1 (to je však málo přijatelné zejména v případě zcela neznatelných rozdílů mezi pn  pn+1, neboť kvalitativní zlom mezi pravdivostí a nepravdivostí výroků pn a pn+1 není pro žádné n oprávněný), nebo musí připustit paradoxní závěr pravdivosti pN či nepravdivosti p0 (což je obvykle ještě nepřijatelnější, neboť 0 zrnek zcela jistě netvoří hromadu, a miliarda zrnek je očividná hromada).
Fuzzy logika nabízí přesvědčivější řešení tohoto paradoxu: uznává pravdivost p0 a nepravdivost pN, induktivní premise ale připisuje pravdivostní hodnotu velmi blízkou jedné (proto nám připadá plausibilní), nikoli však zcela rovnou jedné (např. 0.99999). Iterováním úsudku pomocí induktivní premisy silnou konjunkcí pak např. ve standardní Łukasiewiczově logice dostáváme podle vzorců z oddílu 3 pravdivosti výroků p1, p2, p3, … postupně 0.99999, 0.99998, 0.99997 atd., až nakonec výrok p100000 bude mít pravdivostní hodnotu 0. Konkrétní hodnoty pravdivosti induktivní premisy přitom jsou pouze vlastností konkrétního modelu (a pro dobré modelování musejí být správně nastaveny); logické zákony (tj. dokazatelné formule) fuzzy logiky  však od konkrétní situace abstrahují (generalizují přes všechny takové modely).
Právě tato situace nastává v případě logické vševědoucnosti: agent samozřejmě ví své aktuální znalosti, a učinit jeden odvozovací krok pomocí logického pravidla (např. modus ponens) je pro logicky racionálního agenta zjevně vždy proveditelné. Použijeme‑li pro modalitu proveditelné znalosti klasickou logiku, indukcí získáme nesprávný závěr o proveditelnosti libovolně dlouhého odvození, a tedy logickou vševědoucnost. Připustíme-li však, že proveditelná znalost je fuzzy modalitou podobně jako je „být hromadou“ fuzzy predikátem, vyřešíme logickou vševědoucnost stejným způsobem, jakým fuzzy logika řeší paradox hromady obecně. Důsledkem ovšem je, že pro usuzování o modalitě proveditelné znalosti je nutno použít fuzzy logiku, nikoli klasickou logiku, neboť tato modalita je neostrá.
Fuzzy model modality proveditelné znalosti tak bude přiznávat proveditelnosti znalostí agenta částečnou pravdivost, vyjádřenou pravdivostními hodnotami z intervalu [0, 1], přičemž aktuální či snadno proveditelné znalosti nabývají hodnot blízkých (avšak nikoli rovných) jedné, zatímco obtížně získatelné či nezískatelné znalosti mají pravdivost blízkou či rovnou nule. Modální axiomy nad fuzzy logikou pak automaticky zajistí správné chování modality proveditelné znalosti: například verze axiomu K
KaA & Ka(A  B) & KaMP  KaB
(kde KaMP znamená proveditelnost agentovy znalosti a aplikace odvozovacího pravidla modus ponens) zaručí v Łukasiewiczově logice obecně nižší pravdivostní hodnotu pro KaB, než mají KaA i Ka(A  B); proveditelnou znalost tudíž není možno iterovat donekonečna, aniž bychom nakonec nesnížili její pravdivost k nule.
Chování fuzzy logiky zde tedy zajišťuje, že pravdivost proveditelnosti znalostí je měřena náročností jejich získání. Chování spojek ve fuzzy logice umožňuje interpretaci jejích pravdivostních hodnot jakožto nákladů, podobně jako chování spojek Girardovy lineární logiky umožňuje její interpretaci jako logiky zdrojů (viz např. [Pa02]). Fuzzy logika je v našem případě vhodnější než logika lineární proto, že proveditelnost znalostí lze měřit na lineární škále (jako cenu, např. časovou, jejich získání) a fuzzy logika se od Girardovy logiky liší právě úplností vůči lineárním algebrám ([BC06]; název Girardovy logiky je v tomto ohledu poněkud zavádějící).
Vhodnými fuzzy logikami pro modelování proveditelné znalosti jsou právě Łukasiewiczova a produktová logika: v Łukasiewiczově iterovanou konjunkcí hodnoty různé od 1 dojdeme dříve či později do nuly, což odpovídá shora pevně omezeným zdrojům agenta (znalosti dražší než jistá mez už vůbec nemůže získat), kdežto v produktové se k nule pouze limitně blížíme, což odpovídá idealizaci, kdy jsou agentovy zdroje libovolně rozšiřitelné.
Popsaný fuzzy model epistemické modality proveditelné znalosti je pouze instancí obecnější projekce mezi dynamickou a fuzzy logikou: tak jako v našem modelu „měří“ fuzzy logika pomocí svých pravdivostních hodnot náročnost odvozování (např. počet kroků výše popsané dynamické modality F reprezentující agentovy odvozovací akce), může obecně „měřit“ počet iterací (kroků) libovolných dynamických modalit („programů“). Podrobnější prozkoumání této projekce, stejně jako podrobné rozpracování modelování proveditelných znalostí  jakožto fuzzy modality, je námětem pro budoucí práci.

Poznámka: Práce je podpořena grantem GA AV ČR č. IAA900090703 „Dynamické formální systémy“ a institucionálním výzkumným záměrem č. AV0Z10300504. Autor děkuje P. Cintulovi, D. Makinsonovi, Ch. Fermüllerovi a O. Majerovi za cenné poznámky v diskusích.

Literatura

[Bě06]	L. Běhounek: Fuzzy logics interpreted as expressing the cost of knowledge. Abstracts of Trends in Logic IV, Toruń 2006.

[Bě07a]	L. Běhounek: On the difference between formal and traditional fuzzy logic. Zasláno do Fuzzy Sets and Systems.

[Bě07b]	L. Běhounek: The logical omniscience paradox is an instance of the sorites paradox. Připravováno k zaslání do Studia Logica.

[BC06]	L. Běhounek, P. Cintula: Fuzzy logics as the logics of chains. Fuzzy Sets and Systems 157 (2006) 604–610.

[BC07]	L. Běhounek, P. Cintula: Modal fuzzy logics based on Scott–Montague semantics. Přijato na konferenci Trends in Logic V, Kanton, 2007.
 
[Ga99]	D. M. Gabbay: Fibring Logics. Oxford UP, New York, 1999.

[Go01]	S. Gottwald: A Treatise on Many-Valued Logics. Research Studies Press, Baldock, 2001.

[Há98]	P. Hájek: Metamathematics of fuzzy logic. Kluwer, Dordrecht, 1998.

[Ho01]	Ho Ngoc Duc: Resource-bounded reasoning about knowledge. University of Leipzig, 2001. (http://www.informatik.uni-leipzig.de/~duc)

[Me03]	J.-J. Ch. Meyer: Modal Epistemic and Doxastic Logic. In Handbook of Philosophical Logic, 2nd edition (D. Gabbay and F. Guenthner, eds.). Kluwer, Dordrecht/Boston, 2003.

[NPM99] V. Novák, I. Perfilieva, J. Močkoř: Mathematical Principles of Fuzzy Logic. Kluwer, Boston, 1999.

[Pa02]	F. Paoli: Substructural Logics: A Primer. Springer, 2002.